음... RLC 직렬 회로에 다이오드 하나 추가하면 어떻게 될까?

기존 RLC 직렬 회로를 미분방정식으로 표현하면 다음과 같습니다.

$$L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + R \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} i(t) = \frac{dv(t)}{dt}$$

학부 과정 혹은 전기기사 필기 공부하면 라플라스 변환(Laplace Transform)을 사용하여 시간 도메인에서 주파수 도메인으로 옮기고 이것을 대수적인 방법(사칙연산)으로 정리하여 다시 역변환하면 i(t)를 쉽게 구할 수 있었습니다.

 

그런데 저는 갑자기 이런 궁금증이 생겨났습니다.

(여기에 다이오드 1개 딱 추가하면 어떻게 될까?)

 

여기서 저는 쇼클리 다이오드 방정식을 활용하여 다이오드에 흐르는 전류식을 찾을 수 있습니다.

$$i(t) = I_S \left( \exp\left(\frac{v_D(t)}{n V_T}\right) - 1 \right)$$

여기서 V_T는 열전압(Room temperature에서 약 26[mV]), I_S는 역방향 포화 전류(매우 작은 값)입니다.

 

여기서 저는 다이오드 전압 V_D(t)를 유도하고 시간에 대한 미분된 dV_D(t)/dt도 구하면 다음과 같습니다.

1. $v_D(t)$에 대한 대수적 유도 과정

쇼클리 다이오드 기본 방정식은 전류 $i(t)$를 기준으로 전개되어 있습니다.

$$i(t) = I_S \left( e^{\frac{v_D(t)}{n V_T}} - 1 \right)$$

우리가 원하는 전압 $v_D(t)$를 역으로 도출하기 위해, 양변을 역방향 포화 전류 $I_S$로 나눕니다.

$$\frac{i(t)}{I_S} = e^{\frac{v_D(t)}{n V_T}} - 1$$

우변의 $-1$을 좌변으로 이항하여 지수 항만 남깁니다.

$$\frac{i(t)}{I_S} + 1 = e^{\frac{v_D(t)}{n V_T}}$$

지수를 내려주기 위해 양변에 자연로그($\ln$)를 취합니다.

$$\ln\left(\frac{i(t)}{I_S} + 1\right) = \frac{v_D(t)}{n V_T}$$

최종적으로 양변에 $n V_T$(이상화 계수와 열전압의 곱)를 곱하면 $v_D(t)$에 대한 식이 완벽히 유도됩니다.

$$v_D(t) = n V_T \ln\left(\frac{i(t)}{I_S} + 1\right)$$

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2. 시간 미분항 $\frac{dv_D(t)}{dt}$ 유도 과정

비선형 2계 미분방정식을 결합하려면 전압의 시간 변화율이 필요합니다. 시간 $t$에 대한 직접 미분이 어려우므로, 합성함수의 미분법인 연쇄 법칙(Chain Rule)을 적용합니다.

다이오드 전압과 다이오드 전류는 시간에 대하여 미분 가능한 함수이므로 연쇄 법칙을 적용할 수 있습니다.

$$\frac{dv_D(t)}{dt} = \frac{dv_D(t)}{di(t)} \cdot \frac{di(t)}{dt}$$

여기서 $\frac{dv_D}{di}$를 구하기 위해 위에서 유도한 $v_D(t)$ 식을 전류 $i$에 대해 미분합니다. 로그 함수의 미분 공식 $\frac{d}{dx}[\ln(f(x))] = \frac{f'(x)}{f(x)}$를 활용합니다.

$$\frac{dv_D}{di} = \frac{d}{di} \left[ n V_T \ln\left(\frac{i}{I_S} + 1\right) \right]$$ $$\frac{dv_D}{di} = n V_T \cdot \frac{1}{\frac{i}{I_S} + 1} \cdot \frac{1}{I_S}$$

분모에 있는 통분항을 정리하기 위해 대분수 형태를 가분수로 바꿉니다. $\left(\frac{i}{I_S} + 1 = \frac{i + I_S}{I_S}\right)$

$$\frac{dv_D}{di} = n V_T \cdot \frac{1}{\frac{i + I_S}{I_S}} \cdot \frac{1}{I_S}$$

분모의 번분수 관계에 의해 $I_S$가 분자로 올라가면서 뒤에 곱해진 $\frac{1}{I_S}$과 자연스럽게 약분(상쇄)됩니다.

$$\frac{dv_D}{di} = n V_T \cdot \frac{I_S}{i(t) + I_S} \cdot \frac{1}{I_S} = \frac{n V_T}{i(t) + I_S}$$

구해진 $\frac{dv_D}{di}$를 처음에 세운 연쇄 법칙 식에 그대로 대입하면 최종적인 비선형 시간 미분 수식이 완성됩니다.

$$\frac{dv_D(t)}{dt} = \frac{n V_T}{i(t) + I_S} \frac{di(t)}{dt}$$

이렇게 열심히 유도한 다이오드 전압강하 항을 추가하면 비선형 시스템 완성입니다.

3. RLC-D 회로의 최종 비선형 2계 미분방정식 결합

다이오드가 추가된 RLC 직렬 회로의 전체 KVL(키르히호프 전압 법칙) 방정식은 다음과 같이 정의됩니다.

$$v_L(t) + v_R(t) + v_D(t) + v_C(t) = v(t)$$

양변에 시간에 대하여 미분하고 아까 유도한 다이오드 전압강하의 미분식을 대입해줍니다.

그러면 RLC-D 직렬 회로를 지배하는 최종 비선형 2계 상미분방정식(Non-linear 2nd-order ODE)이 완성됩니다.

$$L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \left( R + \frac{n V_T}{i(t) + I_S} \right) \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} i(t) = \frac{dv(t)}{dt}$$

 

이것을 어떻게 수치 해석해서 이를 Python 소스 코드로 옮겨야 하는지 그게 제일 궁금하거든요.

지금은 이렇게 작은 다이오드로 보이지만 이게 나중에 1[MW]를 다루어야 하는 대용량 시스템이면?

이 비선형 특성 때문에 고조파가 생겨서 역률이 저하되는 문제점이 발생하거든요.

여기서 수치 해석을 잘해야 고조파가 어떻게 생성되는지 예측할 수 있습니다.